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Actualizada 05/12/05

 

Matrices y Estructuras

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1. LA MATRIZ DE RIGIDEZ, NUESTRA PRIMERA AMIGA

 

 

ANTECEDENTES: 

se trata de presentar primero desde un punto de vista meramente algebraico a la matriz de rigidez para posteriormente analizar su sentido físico en la resolución de los sistemas de ecuaciones ligados al cálculo de las estructuras.

 

No son pocas las veces que el mundo de las Matemáticas irrumpe en el de la Mecánica, de hecho si investigáramos a través de la historia ocurriría algo parecido a lo que ocurre en la paradoja de la gallina y el huevo... ¿quién vino primero?.

Bueno el caso es que vamos a tratar de ver que las matrices, que provienen del mundo matemático (1) tienen mucho que ver con la mecánica y especialmente con las estructuras, que es uno de mis temas mecánicos favoritos. 

Es de todos sabido que hoy en día cualquier programa informático de cálculo de estructuras que se precie (no voy a mencionar nombres puesto que de ninguno he recibido dinero, todavía...) posee tres módulos de trabajo más o menos diferenciados: preproceso, cálculo y postproceso. Como es fácil de adivinar el preproceso se centra en la entrada de los datos y el postproceso en la salida de los resultados. El módulo de cálculo, que es el que ahora nos interesa, se centra a su vez en la  resolución de un sistema de ecuaciones. Generalmente este sistema sirve para calcular los desplazamientos de los puntos de la estructura, y a partir de estos los esfuerzos.Es en este punto donde entran aparecen las matrices asociadas a dicho sistema lineal, que como veremos reciben el nombre de matrices de rigidez

Estos programas abarcan principalmente todo el cálculo de estructuras de barras y de elementos finitos donde se opera con matrices que guardan características de los elementos: rigideces, masas, etc. Desde luego existen programas que no se basan en estas técnicas como por ejemplo los que trabajan con el método iterativo de Cross, aunque de estos conozco bien pocos y están un poco mal vistos y en desuso -aunque son igual de válidos respetando unas premisas de partida dadas (despreciar las deformaciones debidas a los axiles por ejemplo)-.  Puesto que la resolución de las estructuras por computadoras supone un esfuerzo inmensamente menor  y dado que los cálculos los realiza el ordenador y este 'no se equivoca' -pongo esto entre comillas puesto que veremos que sí que se equivoca-, los métodos matriciales están popularizándose hasta tal punto que han relegado o absorbido al resto. 

Una vez demostrado que lo de las matrices y las estructuras va en serio nos preguntaremos qué papel juegan las matrices en todo esto. Pues bien, las matrices que a nosotros nos interesan expresan la relación entre las fuerzas y los desplazamientos, veamos esta famosa ecuación para aclararnos: 

                         P = k . d        [1]

pues sí, si consideramos que P es el vector de cargas y d el vector de los desplazamientos producidos en esos puntos (se trata de evitar hablar de de nudos/nodos para no liarnos más de la cuenta), nos daremos cuenta de que la matriz k denominada matriz de rigidez se encarga de almacenar ordenados unos coeficientes tales que al premultiplicar por los desplazamientos en un punto (d) se obtienen las fuerzas en dicho punto (F). Tanto los desplazamientos como las fuerzas son aquí vectores de orden igual al número de grados de libertad de los nudos. Así por ejemplo en estructuras planas del tipo pórticos son tres los grados de libertad por nudo -(dx,dy,Øz) desplazamientos en los dos ejes y giro en el eje Z- para los desplazamientos-, y por tanto también tres las componentes del vector para las fuerzas -(Fx,Fy,Mz) fuerzas en los dos ejes y momentos según el eje Z-.

Esa simple ecuación es la que trae de cabeza a todos los programas de cálculo y su resolución es la que nos ha traído a todos alguna vez a la desesperación frente a la pantalla de nuestro modesto PC puesto que en cuanto la estructura es contundente, el tiempo de resolución se hace interminable.

¿Qué es la rigidez de un elemento?, pues bien, vámonos a nuestras primas las barras que son muy fáciles de entender y nos despejan el paso para posteriores elementos más extraños. Entendemos por rigidez la resistencia que opone un elemento frente a una deformación dada. Una estructura muy rígida es aquella que presenta mayor oposición a la deformación y eso le suele costar caro. En una estructura, por ejemplo la de un edificio, un pilar suele ser menos rígido que una pantalla frente a movimientos horizontales como los producidos por el viento o por el sismo, dado que un pilar suele poseer menor sección que una pantalla, y eso le sale caro a la pantalla puesto que absorbe la mayor parte de los esfuerzos horizontales mientras que el pilar ni se entera. En definitiva los elementos trabajan en conjunto y el más rígido se lleva más parte de las fuerzas que el menos rígido.

La matriz de rigidez de la estructura almacena todas las rigideces de los elementos de dicha estructura y reparte desplazamientos y a la inversa fuerzas según el valor de dichas rigideces. A mayor movimiento te toca menos esfuerzo y de eso se encarga nuestra matriz. ¿No es divertido?, las estructuras son muy solidarias... más puedes, pues más te llevas...(2)

Aquí podéis ver como es la matriz de rigidez de una barra en un pórtico plano, como se observa sus componentes están formados por términos correspondientes características mecánicas de la barra: su área (A) -rigidez frente a deformaciones en el sentido del eje de la barra, producidas por tracciones y compresiones-, inercia (I) -rigidez frente a deformaciones de flexión-, longitud (L), y como no módulo de Elasticidad(E):

Matriz de rigidez de una barra perteneciente a un pórtico

Matriz de Rigidez de una barra en un pórtico plano.

Posteriormente veremos en términos numéricos a qué se reduce la rigidez frente a cada deformación y estaremos en condiciones de resolver nuestros primeros problemas, pero antes nos entretendremos con el sexo de los ángeles viendo algo sobre las curiosas propiedades de la matriz de rigidez y como le dan 'yuyus' al ordenata cuando intenta resolver el sistema de ecuaciones y no posee detrás un buen algoritmo de cálculo.

Ea, pues hasta otra, espero que todo esto os haya servido para algo, adiós...

 

           

                      

(1) Las matrices nacieron con el objeto de simplificar la notación a la hora de resolver sistemas de ecuaciones lineales. Posiblemente el primero en utilizar la notación actual fue el inglés  Arthur Cayley (1821-1895), quien al estudiar las transformaciones lineales, utilizó notaciones abreviadas entre corchetes como las de hoy en día.

(2) Es muy usual al diseñar las primeras estructuras que tras hacer un predimensionado y a partir de los esfuerzos obtenidos se le dé mayor sección a los elementos que están trabajando con mayores esfuerzos, lo cual no siempre conduce a mejorar su estado, dicho elemento seguramente se llevará ahora más parte de la carga. Será mejor buscar un equilibrio de las rigideces.