Estructurín

TEORÍA DE ESTRUCTURAS - 02

Comic centro de gravedad, por gestodedios

El campo de la Teoría de Estructuras es muy amplio y se encuentra en continua evolución. Aquí trataremos temas relativos a métodos de análisis de estructuras (Cálculo Matricial y Método de los Elementos Finitos), materiales, durabilidad, etc.

Podéis contribuir con dudas o aportaciones al respecto

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ACERCA DEL TENSOR DE TENSIONES

por Ramón Gesto, 2016

Voy a tratar de comentar algunos aspectos acerca del denominado tensor de tensiones, que en muchos de los paises amigos de sudamérica denominan tensor de esfuerzos y que nuestros amigos de lengua inglesa denominan stress tensor.

El tensor de tensiones es una herramienta que nos permite conocer las tensiones en cualquier plano de un punto de un sólido. Consiste en un ente matemático en el que se disponen las tensiones correspondientes a los planos perpendiculares a los ejes del sistema de referencia que estamos utilizando.

El concepto de tensor desde un punto de vista matemático se escapa a mi conocimiento. Puedo sin embargo apuntar alguna idea que yo suelo dar a mis alumnos para ayudar a su entendimiento. La primera es que un tensor es similar a un vector. De hecho, un vector es, salvando el escalar, el tipo más sencillo de tensor. Un vector tiene cada componente referido a un eje, pues bien, en un tensor las componentes vienen referidas a varios ejes a la vez. Dado que un vector tiene una componente según cada eje su representación gráfica es sencilla y todos la conocemos, sin embargo, lo mismo es más costoso en un tensor.

Respecto al tensor de tensiones, que es el que nos ocupa, hemos de decir que es un tensor simétrico de orden dos. El hecho de que sea de orden dos no significa que se represente por una matriz de 2x2 sino que el número de componentes del tensor se puede hallar elevando a 2 al número de componentes de espacio. Por ejemplo, si trabajamos en el espacio tridimensional tendremos tres ejes y el número de componentes del tensor será de \(3^2 = 9\) pero si trabajamos en dos dimensiones (normalmente a este estado lo conocemos como tensión plana) el número de componentes será \(2^2 = 4\).

Lo anterior nos lleva a la consecuencia de que un tensor está siempre referido a unos ejes, a un sistema de referencia, de hecho una de las herramientas más valiosas en el trabajo con tensores es el cambio de sistema de referencia. En la terminología que yo suelo utilizar denomino al tensor de tensiones \(\underline{\underline{\sigma}}\). El subrayado doble indica en este caso tensor. Así en el caso de que estemos trabajando en un sistema de referencia cartesiano el tensor de tensiones tendrá la forma:

$$ \underline{\underline{\sigma}} = \left[ \begin{array}{c c c} \sigma_{xx} & \tau_{yx} & \tau_{zx}\\ \tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{zy}\\ \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz} \end{array} \right]_{\vec{i},\vec{j},\vec{k}} $$

Como se ve, en este caso cada componente está referida a dos ejes. En el caso del tensor de tensiones dicha nomenclatura tiene un claro significado:

En cuanto al criterio de signos, son positivas en las caras vistas las componentes de la tensión con el sentido de los ejes y también las contrarias a estos en las caras ocultas. Lo anterior se muestra en la imagen siguiente en la que todas las componentes que aparecen son positivas.

signos tensor de tensiones

Para conocer la tensión existente en un plano definido por su vector normal unitario se utiliza la fórmula de Cauchy:

$$\vec{t} = \underline{\underline{\sigma}} \cdot \vec{n}$$

donde \(\vec{t}\) es el vector de tensión, \(\underline{\underline{\sigma}}\) es el tensor de tensiones y \(\vec{n}\) es el vector unitario que define al plano. El producto tensor vector funciona como el producto de una matriz por un vector columna, por ejemplo, en un espacio tridimiensional el tensor sería una matriz de 3x3 y el vector columna de 3x1.

Nota: El artículo anterior está basado en mi propio conocimiento y puede contener errores. Cualquier comentario al respecto o sugerencia será bien recibida. Gracias

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ACERCA DE LAS TENSIONES TANGENCIALES DEBIDAS A LA FLEXIÓN EN SECCIONES DE PARED DELGADA

por Ramón Gesto, 2016

Normalmente, en los cursos de iniciación a la Resistencia de Materiales el estudio de las tensiones tangenciales debidas a la flexión queda limitado a secciones macizas, al igual que las debidas a la torsión se limitan a secciones circulares o de sección circular. Sin embargo, el análisis de las tensiones tangenciales debidas a la flexión en piezas de pared delgada es muy importante para el cálculo de estructuras metálicas en las que normalmente la sección de los elementos que conforman sus secciones es muy esbelta.

La gran diferencia entre piezas de sección "maciza" o de pared "gruesa" y las de pared "delgada" está en la diferencia en la dirección de las tensiones tangenciales. En el caso de secciones macizas la dirección que se admite para las \(\tau\) es paralela al cortante, mientras que en el caso de piezas de pared delgada la dirección es paralela a la directriz si el espesor es constante (cuando no lo es se puede suponer que las tensiones tangenciales concurren en un punto y son tangentes en los bordes del perímetro).

En todos los casos se utiliza la formulación de Zhuravski-Collignon:

$$\tau_{xy} = \frac{V_y \,Q_z}{Iz\, e}$$

En la que se ha supuesto el eje X paralelo a la directriz de la barra y el eje Y en la dirección que contiene al cortante. "e" es el espesor.

 

Nota: El artículo anterior está basado en mi propio conocimiento y puede contener errores. Cualquier comentario al respecto o sugerencia será bien recibida. Gracias

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